Nhà thiên văn học người Anh Arthur Eddington nghĩ rằng trong vật lý học, các nhà khảo sát thường đối xử không công bằng với sinh viên của họ. Trong cuốn The Nature of Physical World (Bản tính của thế giới vật lý, 1918, t.224), ông viết:

“Nếu chúng ta lục lọi các hồ sơ khảo cứu trong vật lý học (physics) và trong triết học tự nhiên (natural philosophy) để tìm những vấn nạn có thể dễ hiểu hơn, chúng ta sẽ tình cờ bắt gặp một nhập đề nào đó theo kiểu thế này: ‘Con voi lướt đi êm ái trên triền đồi mượt cỏ...’ Ðối với các cứu cánh của vật lý học, con voi ấy không thích đáng, và triền đồi mượt cỏ cũng không thích đáng. Những cái duy nhất làm thành vấn đề là chúng ta có ‘một khối lượng nặng hai tấn’ và một độ dốc, hãy cứ cho là 60 độ. Nói cách khác, càng sớm buông bỏ những đánh giá về phẩm tính (quality) mà đi vào những sự kiện hoàn toàn lượng tính (quantity), chúng ta sẽ càng đi nhanh vào vấn đề. Ðiều ấy cho thấy rằng ít nhất đối với vật lý học, lượng tính hoàn toàn quan trọng còn phẩm tính chỉ làm cho lầm đường lạc nẻo”.

Khoa học tiến nhờ toán học

Những lời ấy nghe quá lạ lùng vì trong chương 3 vừa rồi, tuy chỉ mới định nghĩa các phẩm tính, chúng ta đã kết thúc với những dòng chữ nhấn mạnh rằng chúng là cơ sở để qua đó chúng ta có được tri thức về thế giới. Tuy thế, đối với người sống trong thế giới khoa học, những lời của Eddington chẳng chút nào lạ lùng.

Từng có thời các nhà khoa học dùng toán học như một công cụ để khám phá, và không có cái gì có thể ngăn cản đà tiến bộ nhanh chóng của khoa học. Trong suốt khoảng bốn trăm năm tính từ thời Galileo vào đầu thế kỷ 17 cho tới nay, bằng cách dùng toán học, các nhà khoa học đã biết nhiều hơn về thiên nhiên và vũ trụ hơn hết thảy các tiền bối của họ suốt mấy ngàn năm trước.

Ngày nay, với sự hỗ trợ của năng lực toán học, con người có những máy móc kỹ nghệ và công nghệ tin học, khám phá những nơi chốn sâu hơn, xa hơn và cao hơn của thế gian. Hai khuôn mặt tiêu biểu cho năng lực diệu kỳ của toán học là Albert Einstein với cây bút chì và Stephen Hawking với bàn phím máy vi tính. Cũng nhờ toán học, con người giữ đúng giờ hẹn trên không gian bao la, đặt chân xuống mặt trăng, thả người máy xuống sao Hỏa, chụp hình sao Thủy, v.v. Nếu không có toán học, chắc chắn không có máy vi tính, điện thoại di động, các vệ tinh viễn thông, v.v. Và giờ đây, không hoang tưởng chút nào về giấc mơ một ngày nào đó không xa, con người sẽ đến định cư tại một hành tinh nào đó, như trong các bộ phim khoa học giả tưởng hiện nay.

2. Cần nguyên lý trật tự

Hệ thống và nguyên tắc

Lúc này, chúng ta đã thấy rằng vạn vật (things) và các biến cố (events) là những hệ thống các phẩm tính (systems of qualities) và rằng thiên nhiên (nature) là một hệ thống các biến cố (systems of events). Dù định nghĩa phẩm tính là gì đi nữa, điều rõ ràng là chúng không có xu hướng phối hợp nhau một cách tự nhiên.

Không có lý do rõ rệt nào cho thấy tại sao cái vàng, cái ngọt và cái tròn phải cùng nhau xuất hiện trong trái ổi. Thế nhưng, nếu không có nguyên lý tổ chức nào đó hoặc nguyên lý trật tự nào đó thì không thể có các đối vật và thiên nhiên. Do đó, chúng ta buộc lòng phải chú ý nhiều hơn đến những gì liên quan tới “hệ thống”

Ðộc lập và đo lường được

Chừng nào còn có thể rút tỉa từ vạn vật và thiên nhiên ra các nguyên lý trật tự, chừng đó sự đánh giá có tính toán học về chúng còn khả thi. Ðó là điều đã và đang xảy ra. Galileo phát hiện rằng cuộc thẩm tra của mình về gia tốc hoàn toàn độc lập với các vật thể được quan sát. Ông chỉ cần đánh dấu thời gian cần thiết cho một đối tượng đi qua các chiều dài không gian khác nhau là đủ.

Trước thời Galileo, các nhà khoa học đặt trọng tâm trên phẩm tính của đối tượng, cách riêng những phẩm tính cốt lõi, hoặc yếu tính, hoặc bản tính của vật. Việc ấy dẫn tới sự phân loại các đối tượng theo từng chủng loại riêng biệt. Phần lớn khoa học vẫn còn mang tính phẩm tính theo ý nghĩa công tác chủ yếu của nó là phân loại, thí dụ thực vật học (botany), nhưng lý tưởng của toàn bộ khoa học hiện đại là thay thế sự phân loại bằng đo lường, càng nhiều càng tốt.

3. Nguồn gốc của khoa học thực nghiệm

Thí nghiệm và toán học

Chẳng quá đáng chút nào khi nói rằng Galileo đã đề ra các yêu cầu căn bản cho khoa học hiện đại khi ông thay thế sự quan sát đơn giản bằng thí nghiệm hoặc quan sát có kiểm soát và nhấn mạnh tầm quan trọng của toán học.

Ðối với Galileo, toán học có thể khiến cho ta có được lời phát biểu chính xác về tương quan giữa các biến cố được khám phá bằng thí nghiệm, và đồng thời, dẫn tới những khám phá mới bằng các khí cụ toán học để suy ra những kết luận mới từ tri thức và lập thành công thức toán học.

Từ cổ đại Hy Lạp

Về mặt lịch sử, hẳn không hoàn toàn đúng khi nói rằng Galileo đã vì các lý do đó mà chấp nhận những phương pháp ấy. Thật ra, ông là kẻ phục hồi một truyền thống từng thịnh hành trong một số triết gia Hi Lạp trước thời Aristotle.

Bị đánh động bởi tương quan giữa chiều dài khác nhau của dây và các nốt nhạc được đánh lên, Pythagoras, thế kỷ 6 trước C.N. nêu ý tưởng rằng toán học là cơ sở thật sự của vũ trụ: “Vạn vật được làm thành bởi những con số”. Với lời tuyên bố rằng người không có kiến thức về hình học thì không thể tiến xa trong triết học, *Plato (k.428-347 tr.C.N.) tỏ ra chịu ảnh hưởng rất lớn của Pythagoras.

Galileo và cấu trúc toán học

Galileo là người mang bản sắc Plato hơn bản sắc Aristotle, môn sinh của Plato. Sự nhấn mạnh của ông lên cấu trúc có tính toán học của thiên nhiên hoàn toàn nhất quán với triết học của ông. Sở thích ấy của ông cực kỳ may mắn: nó không những cho phép ông đặt chân lên các lối đi rất bảo đảm trong ngành khoa học của chính ông mà còn khiến cho ông có khả năng đặt nền tảng cho một phong trào từ ông, đi qua Newton sang Einstein tới Hawking cùng tri thức khoa học tiên tiến của thế kỷ 20 vừa qua và sẽ còn nữa.

Một số câu chuyện kể về Galileo và các cộng sự viên của ông rõ ràng là ngụy tạo nhưng kinh nghiệm của ông về *Tòa án Dị giáo (Inquisition) là chỉ dấu trung thực lối tiếp cận mới mẻ của họ, khác một cách rõ rệt với những lối tiếp cận trước đó.

Ảnh hưởng cùa Aristotle

Khoa học thời Trung cổ ít để ý tới thí nghiệm; nó đặt cơ sở trên *luận lý học hình thức (formal logic) như một công cụ dùng để khám phá và chủ yếu dựa trên việc thông giải văn bản của các tác giả khác. Công trình toán học bị cản trở bởi lý thuyết về các nguyên nhân cứu cánh (hoặc tối hậu, final causes) và những quả quyết triết lý về bản tính của vũ trụ.

Aristotle cung cấp sức đẩy tiên khởi cho phương pháp đó. Ông từng nêu ý kiến rằng khi hòn đá rơi xuống và ngọn lửa bốc lên, chúng ứng xử đúng như chúng phải làm vì chúng đang tìm kiếm vị trí tự nhiên của chúng. Các ngôi sao trên trời hoàn hảo trong bản tính của chúng và chúng được kỳ vọng di chuyển theo những đường đi hoàn hảo. Bởi vì vòng tròn là cái không bắt đầu cũng chẳng kết thúc nên nó là dạng hoàn hảo nhất, do đó tinh tú trên trời di chuyển theo đường tròn.

Xuất từ đó ta có quan điểm của Claudius Ptolemaneus, thường gọi là *Ptolemy. Ông là nhà thiên văn, địa lý và toán học Hi Lạp làm việc tại thư viện vĩ đại Alexandria (Ai Cập). Ông cho rằng trái đất được bao quanh bởi các hành tinh chuyển động theo hình rất tròn. Chủ trương ấy thịnh hành kể từ năm 127 tới năm 141 hoặc 151 sau C.N., và khống chế cho tới thế kỷ 16, bất chấp sự xuất hiện quan điểm thiên văn học của Nicolas Copernicus.

Dấu ấn Galileo

Các minh họa vừa kể cho thấy nguy cơ của một nền khoa học hoàn toàn mang bản sắc *duy lý chủ nghĩa (rationalism) mà không được sửa chữa bằng sự quan sát liên tục và thí nghiệm; Galileo bác bỏ lối tiếp cận đó. Và kể từ thời của ông, dấu hiệu của một nhà khoa học chân chính là sự tùy thuộc vào thí nghiệm và toán học.

4. Lợi thế của toán học

Ba lợi thế

Như một công cụ của khoa học, toán học có tới ba lợi thế:

1. Các kết quả của thí nghiệm một khi được diễn tả bằng thuật ngữ toán học, chúng có khả năng cho ta kiến thức chính xác. Hết thảy những thành tố phức tạp có thể bị loại trừ hoặc gạt sang một bên, và bất cứ cái nào không thể rút gọn thành ký hiệu toán học đều có thể bị xem là còn phức tạp. Do đó, trong truyền thống Newton, chỉ những phẩm tính cấp một đo lường được mới có khả năng đứng vững. Chúng ta thấy khái niệm này được phản ánh trong sự phân biệt các phẩm tính cấp một và cấp hai.

2. Một khi được sử dụng, toán học có khả năng đưa ra lời tiên đoán bằng cách tính toán những nội hàm toán học (mathemathical implications) của các kết quả đạt được. Toán học tiến hành bằng những cái thay thế, dẫn tới cái nhìn xuyên suốt mới và gợi ra các thí nghiệm mới. Trong vật lý học cao cấp, những cuộc mạo hiểm mới đây gần như hoàn toàn có tính toán học, tuy thế, chúng đưa ra những dự báo khả thi về hoạt động của các hiện tượng có thể kiểm tra và xác nhận một khi các nhà khoa học biết cái mình đang tìm kiếm.

3. Từ nửa cuối thế kỷ 20 tới nay, toán học chiếm lĩnh chiến trường, đặc biệt trong các ngành cao kỹ, công nghệ thông tin, khoa học không gian, vật lý và kỹ thuật vi hạt nhân, v.v. Nhà khoa học càng ngày càng chính xác hơn và tinh tiến hơn, ngược lại, quan sát trực tiếp hoặc thí nghiệm càng ngày càng góp phần ít hơn vào quá trình tiến bộ ấy. Nhà khoa học càng ngày càng tùy thuộc nhiều hơn vào các ký hiệu toán học và tùy thuộc ít hơn vào công tác quan sát, ngoại trừ để xác minh. Arthur Eddington lập luận rằng vật lý học hiện đại chỉ ứng xử với các ký hiệu và rằng cái vẻ bên ngoài của cách xử lý các vật có thật chỉ là ảo giác. Những tiến bộ trong các phạm vi như cơ học lượng tử (quantum mechanics) gần như hoàn toàn mang tính toán học. Và những kẻ không quen thuộc với toán học đều gặp trở ngại, không thể thâm nhập những bí mật sâu xa nhất của thiên nhiên.

Diệu dụng của toán học

Bằng cách làm cho con người có khả năng chuyển tải các suy tưởng của nó đi xa hơn bao giờ hết, bằng việc có khả năng gợi mở những con đường mới cho cuộc tìm kiếm, và bằng cách cung ứng công thức cho các kết quả thẩm tra, toán học đã và đang gia tăng quyền làm chủ của con người trên thiên nhiên đồng thời mở ra cho con người kho tàng tri thức bao la hơn bất cứ những gì mà các nhà tư tưởng thuở trước mơ tưởng.

Toán học là công cụ chính của Einstein. Nhà vật lý lý thuyết Stephen Hawking, bằng các công trình toán học, thông qua bàn phím máy điện toán, đã đưa ra những lý thuyết nổi tiếng về hố đen vũ trụ, tác động của vụ nổ Big Bang, v.v. Ðối với một số giáo sư và sinh viên khoa toán, không có bức tranh nào “đẹp tuyệt vời và tao nhã” cho bằng hình ảnh của một chuỗi cả chục hàng phương trình toán học trên tấm bảng màu xanh lục trong giảng đường!

Công cụ toán học dường như là chìa khóa phép lạ mở cánh cửa bước vào miền đất phì nhiêu, phong phú những bí mật của thế giới. Chính toán học, hơn bất cứ môn học nào khác, biến thời đại này thành thời đại khoa học công nghiệp, không gian, hạt nhân, điện tử, vi tính, v.v. và củng cố lòng tự tin của con người, cái vẫn chưa có thể cắt nghĩa. Và cuối cùng, toán học sẽ mang niềm tự tin ấy vào trong phạm vi tri thức của chúng ta vì ở đó dường như không có giới hạn nào cho những kỳ công mà khoa học mang tính toán học có thể thực hiện.

5. Toán học và lượng tính

Phải cần tới phẩm tính

Có lẽ trước hết, phải nói rõ là các xem xét về lượng tính không thể không cần tới ít nhiều thông tin về phẩm tính. Không thể đếm hoặc cân đo chính xác một vật nếu vật ấy không có một phẩm tính nào đó hoặc có chung với nhau các phẩm tính nhất định.

Chúng ta không thể nói trong rỗ này có 12 trái ổi nếu đối tượng chúng ta đếm không phải là 12 trái ổi, cho dù nói theo kiểu “lục tỉnh miền tây” đôi khi đó là một “chục mười hai” hoặc mười ba mười bốn! Nếu có ai đó chọc quê chúng ta, cho vào rỗ ấy 12 trái cóc hoặc một số trái cóc thay cho ổi, chúng ta sẽ phải đổi từ ngữ và gọi chúng là 12 trái cóc hoặc 12 trái cây.

Từ ngữ “trái cây” dù không chính xác như “trái ổi”, “trái cóc” nhưng cứu được chúng ta ra khỏi hoạt cảnh bẽ bàng tại chỗ. Dù với bất cứ từ ngữ nào, nếu được dùng một cách thích đáng, vẫn chỉ tới sự có mặt của một số phẩm tính trong các đối tượng được đo lường.

Người đầu óc bình thường không đưa ngón tay chỉ lên ngọn Tháp Bút hay chỉ xuống mặt nước Hồ Gươm rồi đếm một, hai, ba... mà trước mắt không có đối tượng nhất định. Hành động đếm chỉ có ý nghĩa khi chúng ta biết rõ mình đang đếm cái gì, nghĩa là hành động ấy phải đặt căn bản trên sự phân biệt nào đó về phẩm tính.

Ðơn vị chung phẩm tính

Không cần phải xem xét hết tất cả các phẩm tính có sẵn. Trong khi đếm, số lượng các phẩm tính mà chúng ta cần có thường được quyết định bởi lợi ích của chúng. Nếu chúng ta bán rau muống cho người mua về nuôi heo, chúng ta sẽ chọn xem loại rau muống nào có chung một số đặc điểm nhất định, không cần phải xem chúng dài hay ngắn bằng nhau, còn tươi hay đã héo, già hay non một chút, v.v.

Những phân biệt ấy chỉ thành vấn đề khi chúng ta đem rau muống ra chợ bán cho người ta mua về ăn: xào, luộc hay làm rau sống, ăn bún riêu, v.v. Tuy nhiên, sự sở hữu đơn thuần một phẩm tính chung chỉ mới là cơ sở ắt có chứ chưa đủ cho mọi hành động đếm. Vì như đã nói ở trên, điều quan trọng cần nhớ là không thể có hành động đếm nếu không có các đối tượng gồm những đơn vị riêng biệt đang sở hữu một hay một số phẩm tính chung.

Ðơn giản hóa phẩm tính

Chính sự rút bớt các phẩm tính, càng nhiều càng tốt, mới gia tăng tính chính xác cho các kỹ thuật toán học. Trong cuộc kiểm tra dân số, mọi cá nhân đều được đối xử như những đơn vị riêng biệt và rất dễ đếm. Công việc bắt đầu phức tạp khi bản kê khai phải ghi thêm niềm tin chính trị, thí dụ dân chủ hay quân chủ hay đảng phái nào, niềm tin tôn giáo, thí dụ theo đạo nào, và lý tưởng đạo đức, thí dụ trả lời một số câu hỏi về luân lý.

Các ngành khoa học xã hội không có khả năng đạt tới sự chắc chắn trong các khám phá của mình giống như khoa học tự nhiên, vì khoa học xã hội không thể ứng xử với con người như những ký hiệu thuần túy toán học. Có vẻ con thuyền khoa học xã hội sẽ mãi mãi lơ lửng giữa dòng sông phẩm tính và không bao giờ “đáo bỉ ngạn”, vượt thoát lên hai bên bờ bất định được lập thành bởi những phức tạp ấy.

6. Việc đếm

Từ thượng cổ đã đếm

Ðếm là một thành tựu mà loài người đạt được từ thời thượng cổ. Thuở con người còn sống đời du mục, chăn cừu hoặc chăn các súc vật khác, mục tử phải đếm bầy súc vật từng con một đang đi trong bầy đàn, và các loại đối tượng khác. Có lẽ thuở ấy, tổ tiên của chúng ta dùng các viên sỏi.

Hoàng hôn xuống, lùa đàn súc vật trở về, cứ mỗi con vô chuồng hoặc vô bãi đất trống có rào bằng đá hay gỗ bọc quanh, mục tử lấy một hòn sỏi từ trong tổng số các hòn sỏi tương ứng với tổng số các con vật, rồi thả từng hòn xuống đất. Nếu hết con này tới con khác lần lượt vô chuồng cho tới khi trong bọc không còn hòn sỏi nào, người chăn bầy mới yên chí đi về nhà mình. Nếu đàn súc vật đã vào hết mà trong bọc hoặc trên tay còn, thí dụ một hòn sỏi, tức là đang thiếu một con. Mục tử phải lập tức đi tìm con vật thất lạc ấy.

Ðó là ở phương Tây, còn ở Viễn Ðông, người Trung Hoa tin rằng tổ tiên của họ thắt dây thừng làm gút mà đếm khi giao dịch. Có bao nhiêu vật thì có bấy nhiêu gút. Dần dà từ các gút ấy tiến lên các bàn toán phức tạp hơn làm thành hình dạng và thành cách sử dụng bàn toán của người Trung Hoa. Ngày nay, nhìn các hạt trong bàn toán, ta không khỏi liên tưởng tới hình dạng các gút dây thừng!

Khi nhiều quá và phức tạp

Chừng nào các số đếm không lớn quá cũng như chừng nào không có quá nhiều loại đối tượng được đếm khác nhau, chừng đó các hệ thống ấy còn thao tác mà không gặp quá đổi khó khăn. Khi các đối tượng tăng thêm hoặc trở nên đa tạp hơn, phát sinh vấn đề và đòi hỏi phải phát triển thiết bị mới.

Tới lúc người ta khám phá ra các con số thì có thể buông bỏ hệ thống đếm cồng kềnh ấy bằng cách viện dẫn các đối tượng khác. Và đồng thời để đạt được cũng một cứu cánh ấy bằng sự tương ứng với các ký hiệu có thể mang theo trong đầu để áp dụng cho nhiều loại đối tượng khác nhau mà không bị lẫn lộn.

Dưới bầu trời Tây, chừng nào các viên sỏi còn quan hệ hỗ tương với các con cừu, chừng đó người ta còn không thể dùng chúng để kiểm tra các vật khác mà không có nguy cơ lẫn lộn thật sự. Ngược lại, đối với các con số, chúng ta có thể áp dụng chúng cho bất cứ đối tượng nào đáp ứng được yêu cầu của kỹ thuật toán học mà không gặp nguy cơ nào giống như thế.

Lịch sử con số

Không cách gì biết rõ ai là người đầu tiên rút tỉa các con số từ các đối tượng cụ thể, nhưng bằng việc tách hành động đếm ra khỏi các khí cụ cồng kềnh như sỏi hoặc dây thừng, người ấy đã phát triển một khí cụ tổng quát, hữu dụng và đặt nền tảng cho toán học.

Không biết tổ tiên loài người phải mất bao nhiêu thời gian để đi từ việc phát minh con số tới việc thiết lập các hệ thống chữ số có khả năng khảo sát tương quan giữa bản thân các con số. Với các phương tiện cồng kềnh trước đó như viên sỏi hoặc gút dây thừng, hẳn họ cảm thấy cực kỳ khó khăn khi phải khám phá tương quan giữa các con số.

Thế rồi có sự xuất hiện ký hiệu A Rập, và đó là tiến bộ quan trọng nhất. Lợi thế độc đáo của ký hiệu A Rập chính là ký hiệu của vị trí. Như thế, 5 trong con số 51 không còn tiêu biểu cho 5 mà là 50, và cứ thế đối với các vị trí khác. Sự kiện ấy khiến cho việc phát minh con số không (dê-rô) trở thành thiết yếu. Chừng nào con người còn cân đo đong đếm các đối tượng cụ thể bằng các vật cụ thể thì không thể có khái niệm về con số dê-rô. Các nhà toán học thuở ấy nghĩ tới con số như được phát sinh từ một đơn vị.

Số dê-rô vĩ đại

Rõ ràng ký hiệu A Rập đòi hỏi phải có con số dê-rô, bằng không hẳn có một lỗ trống bất khả thi giữa 49 và 51. Hoàn toàn có khả năng con số dê-rô được phát minh cho mục đích đó. Nó là một trong những phát minh sinh lợi nhiều nhất của một nhà thiên tài toán học Ấn Ðộ. Cũng có khả năng số dê-rô ban đầu chỉ là “khoanh một cái” vào giữa các dãy số để nhớ ở đây “có một cái”. Lâu dần, hình ảnh “cái khoanh tròn” ấy dùng làm con số dê-rô, rồi được kết hợp quá đổi tài tình thành con số chục.

Số dê-rô mở ra những khả thi mới cho các thao tác trên những con số và nó cho nhà toán học quyền năng mới. Tầm quan trọng của con số dê-rô mới mẻ ấy đã được chứng minh phần nào trong các phương trình toán học hay vị trí của nó như một điểm gốc cho các trục tung và hoành trong một hệ thống các tọa độ.

7. Số thứ tự

Có thể dùng các con số để chỉ thứ tự hoặc vị trí trong một chuỗi. Ðược dùng theo lối ấy, người ta gọi chúng là số thứ tự (ordinal numbers). Giám khảo một cuộc thi luận văn sẽ đặt các bài luận theo cái mà ông xem là thứ tự tưởng thưởng chúng. Ông có thể đặt cho bài hay nhất là số 1 (đệ nhất), kế bài hay nhất là số 2 (đệ nhị), và cứ thế. Trong trường hợp nay, con số nhỏ nhất là bài hay nhất. Thứ tự của các con số (đệ) chỉ cho thấy thứ tự tưởng thưởng của bài được đánh số.

Chúng ta sẽ vô lý nếu từ việc đánh số ấy của giám khảo mà suy diễn rằng bài luận được đánh số 1 thì dài gấp đôi hoặc hay gấp đôi bài được đánh số 2, cũng như dài hoặc hay gấp ba bài được đánh số 3 (đệ tam). Thậm chí vô lý hơn nữa nếu giả dụ có hai bài luận có chất lượng, được đánh số 2, ta đem cộng chúng lại rồi bảo chúng ngang với bài luận có chất lượng được đánh số 4 (đệ tứ).

Ở đây, các con số được dùng để chỉ thứ tự hay để tưởng thưởng; chúng cũng hoàn toàn không có ngụ ý về việc được thưởng bao nhiêu so với các bài luận khác nhau. Hệ quả là, khi các con số được dùng theo số thứ tự, người ta không thể cộng, trừ, nhân hoặc chia chúng. Tất cả chỉ là vấn đề thứ tự của các con số phải chỉ thứ tự của các vật được đánh số theo một nguyên tắc thiết lập trật tự nào đó.

8. Số bản số

Chúng ta cũng có thể sử dụng các con số làm các số bản số (cardinals). Chúng được dùng để tiêu biểu cho tương quan xác định, cùng một kiểu và có thể đo lường lượng tính. Nếu chúng ta ấn định cho Sài Gòn con số 1, Ðà Nẵng con số 2 và Hà Nội con số 3, thì cả ba con số ấy chỉ thứ tự theo đó chúng ta sẽ lần lượt gặp ba thành phố ấy trong cuộc hành trình xuyên Việt đi từ nam ra bắc.

Tuy thế, nếu chúng ta đánh số Sài Gòn là con số 0, Vĩnh Long (thí dụ) là con số 100, Cần Thơ (thí dụ) là con số 200 (với ý định để giản dị hóa, các con số này tiêu biểu cho số đoạn đường tính bằng cây số giữa các thành phố ấy). Lúc đó chúng ta nên dùng các con số để chỉ điều ấy nếu chúng ta dùng cây số (kilô mét) làm đơn vị bằng 1 rồi 100 của đơn vị ấy nằm giữa Sài Gòn và Vĩnh Long, và 200 giữa Sài Gòn và Cần Thơ. Chúng ta có thể cộng các con số ấy với nhau hoặc chúng ta có thể trừ chúng.

Thí dụ 200 trừ 100 thì khoảng cách giữa Vĩnh Long cà Cần Thơ là 100 cây số, hoặc chúng ta có thể chia chúng và nói rằng khoảng cách từ Sài Gòn với Vĩnh Long bằng một nửa khoảng cách từ Sài Gòn với Cần Thơ. Lúc đó, các số bản số chỉ cho chúng ta thấy không những thứ tự của các vật chúng áp dụng mà còn con số của các đơn vị đồng nhất và xác định giữa các vật mà chúng áp dụng.

9. Ðại lượng bao quát và đại lượng cường độ

Ðại lượng bao quát

Về mặt bản số, không phải hết thảy các loại của vật đều có thể được đánh số. Các đại lượng (magnitudes) có thể đo lường bằng số bản số được gọi là những đại lượng bao quát (extensive magnitudes). Khoảng cách không gian, kích cỡ và vị trí là những thí dụ rõ ràng nhất của đại lượng bao quát. Ðó là những đại lượng mà ngành khoa học vật lý (physical sciences) nhận thấy dễ ứng xử với chúng nhất. Chúng cũng là những thí dụ tốt nhất cho các phẩm tính cấp một.

Ðại lượng cường độ

Các đại lượng có thể đo lường bằng số thứ tự được gọi là những đại lượng cường độ (intensive magnitudes). Các phẩm tính cấp hai và cấp ba là những đại lượng cường độ. Chúng ta có thể sắp xếp một chuỗi màu sắc theo thứ tự độ sáng của chúng hoặc cường độ của chúng. Chúng ta cũng có thể sắp xếp một nhóm các nhạc cụ theo thứ tự vẻ đẹp của chúng hoặc theo sở thích của chúng ta.

Chúng ta không thể nói màu đỏ có cường độ gấp ba lần màu khác hoặc bản nhạc này, một cách chính xác, hay gấp hai lần bản nhạc kia. Những cái đó là đại lượng cường độ và không có đơn vị tiêu chuẩn đo lường màu sắc hoặc thẩm mỹ để căn cứ theo đó chúng ta có thể ấn định các lượng tính riêng biệt cho từng phẩm tính.

Cho dẫu như thế, chúng ta vẫn dùng số bản số và các biện pháp đo lường chính xác lượng tính khi ứng xử với các đại lượng cường độ. Ngành khoa học vật lý đã khiến cho có thể đo lường màu sắc và độ sáng bằng chiều dài sóng và cường độ sáng, âm thanh bằng deciben, nhiệt bằng các đơn vị nhiệt, nồng độ của dung dịch, và vân vân.

Trong hết thảy các trường hợp ấy, chúng ta cần nhớ rằng đại lượng cường độ không thể đo lường trực tiếp mà chỉ gián tiếp qua những tương quan của nó với đại lượng bao quát. Hệ quả là có những nguy cơ nhất định trong việc thông giải các đo lường đó nên chúng ta cần phải cảnh giác.

Thí dụ minh họa

Có thể minh họa phương pháp đo lường các đại lượng cường độ qua tương quan với lượng tính bao quát bằng sự đo lường nhiệt. Ấm, như chúng ta cảm giác chúng bằng các giác quan trong da, là một đại lượng cường độ. Chúng ta có thể nói bên trong nhà ấm hơn bên ngoài, nhưng thật phi lý khi nói rằng bên trong nhà ấm gấp năm lần bên ngoài.

Cho dù mùa đông tại thành phố Toronto, Canada, nơi tôi đang sinh sống, nhiệt độ trong nhà tôi nhờ có máy sưỡi nên thường +23 độ C trong khi nhiệt độ tự nhiên bên ngoài có ngày xuống tới –35 độ C, nhất là những lúc trời có gió buốt.

Thanh đo và thủy ngân

Ðể đưa tới sự đo lường chính xác bằng các con số, thông thường chúng ta phải sử dụng que đo – hay thanh đo – nào đó, thí dụ ống rỗng và một cột thủy ngân. Thủy ngân có đặc tính dâng lên hay hạ xuống trong ống rỗng theo tỉ lệ giản nở cố định với thứ tự cường độ ấm. Lúc đó, chúng ta có thể đánh dấu trên ống rỗng các đơn vị khoảng cách. Do đó, cách đo lường này tùy thuộc:

a. Trên các đặc tính của thủy ngân, và

b. Trên các con số và các đơn vị được chúng ta ấn định cho những độ cao khác nhau của thủy ngân trong ống.

Trong những điều kiện nhất định, thủy ngân không đáp ứng được mục đích đó, ta phải dùng các chất liệu khác. Vì thế, để đo lường chính xác, chúng ta phải biết thanh đo của mình có những đặc tính nào; trong trường hợp này là thủy ngân. Về các đơn vị được dùng trong việc đo lường nhiệt độ, người ta thường sử dụng hai hệ thống đo lường nó: độ C (Censius hoặc Centigrade), và độ F (Farenheit). Tại Việt Nam, cũng như tại Canada, dùng độ C; tại Hoa Kỳ dùng độ F.

Nếu nói rằng căn phòng A 66 độï F ấm gấp hai lần căn phòng B chỉ 33 độ F; câu nói ấy vô nghĩa, vì tương quan giữa hai con số đó hoàn toàn tùy thuộc vào hệ thống chia độ mà ta sử dụng lúc đó. Sáu mươi sáu độ F tương đương khoảng 20 độ C, còn 33 độ F thì tương đương khoảng 1 độ C. Như thế, chúng ta có nên nói căn phòng A ấm gấp hai lần căn phòng B hay ấm gấp hai chục lần?

Các khó khăn

Ngày nay, với sự phát triển của ngành điện tử, ta có những dụng cụ cảm ứng đo bằng điện tử và cực kỳ nhạy bén. Tuy thế, nhiều trường hợp vẫn dùng các dụng cụ cũ, nhất là trong sinh hoạt đời thường.

Bạn không nên quên những nguy cơ phát sinh từ hai nguồn ấy – thanh đo và hệ thống chia độ đo – khi chúng ta chạm trán với những toan tính đo lường chính xác các đại lượng cường độ.

Chúng ta cũng chạm trán các khó khăn giống như thế trong những loại đo lường khác nhau, thí dụ đo lường trí thông minh hoặc đo lường nhân cách trong tâm lý học, hoặc đo lường tài sản hay khả năng sản xuất trong kinh tế học (economics) và các giá trị dinh dưỡng trong khoa học về chế độ ăn uống và dinh dưỡng (dieterics) và còn rất nhiều đối tượng đo lường trong các bộ môn khác.

10. Ðo lường

Ðơn vị đo lường

Ở dạng đơn giản nhất, đo lường khác với đếm trong cách xử lý tương quan giữa đối tượng nào đó và dụng cụ đo lường. Các dụng cụ đo lường có thể có hình thức quen thuộc như thước đo theo mét hoặc theo yard (centimét hay inch) và nhiệt kế cho tới các dụng cụ điện tử phức tạp nhất trong khoa học hiện đại.

Ðặc biệt từ năm 1960, có một độ lớn được công nhận là nano, theo tiếng Hi Lạp có nghĩa là chú lùn. Nano (viết tắt n) là một tiền tố được viết liền trước một đơn vị đo lường quốc tế để chỉ đơn vị nhỏ gấp 10⁹ hay 1.000.000.000 lần. Một nanomét bằng 1 mét chia cho một tỉ hoặc viết là 10^-9 mét.

Ðếm và đo lường

Sự phân biệt giữa đếm và đo lường cũng giống với sự phân biệt đã được chúng ta trình bày, giữa các số thứ tự và số bản số. Số bản số được dùng trong việc đếm vì chúng có quan hệ tương ứng một-trên-một giữa các đối tượng và các con số, ngược lại trong đo lường, chúng ta quan tâm tới con số thứ tự vì đo lường chủ yếu là vấn đề vị trí trong một chuỗi. Do đó, mỗi dụng cụ đo lường đều được, bằng một cách nào đó, chia thành từng vạch – hay từng lằn mức, ngấn hay khấc – tăng dần để có một chuỗi các vị trí đo lường khả thi.

Vì mục đích của đo lường nên phải cô lập đối tượng với phần còn lại của thiên nhiên, thí dụ cân tiểu ly để cân vàng thường được đặt trong lồng kính. Nhưng cũng loại cân ấy, khi dùng để cân thuốc bắc, người ta thường cầm trên tay. Hoặc giả trong khi đo cạnh của chiếc bàn, chúng ta xử lý như thể nó hoàn toàn cô lập, và ta không quan tâm tới nhiệt độ của các cạnh bàn. Khi cân một bao thóc, chúng ta chỉ quan tâm tới mối liên hệ của bao thóc và kim chỉ trên bàn cân chứ không để ý đến ảnh hưởng của các tinh tú hay bất cứ sức mạnh nào khác.

Cô lập, giả định và gia giảm

Trong một số trường hợp, như đối với nhà hóa học, gần như đạt được sự cô lập hoàn toàn. Nhưng đối với nhiều trường hợp, sự cô lập chỉ là giả định. Những tính toán sau khi đo lường sẽ cho phép chúng ta gia giảm ít nhiều. Nhưng nếu không giả định có sự cô lập, chúng ta không thể nào đo lường.

Tại Viễn Ðông, đo lường trong một số lãnh vực, thí dụ bổ một toa thuốc đông y hay nấu nướng thức ăn, người ta thường kết hợp đo lường với sự thêm bớt sau đó, phỏng chừng theo kinh nghiệm. Thế nên nhiều người quả quyết rằng, hoặc ngộ nhận rằng giá trị đo lường của người á đông chủ yếu dựa trên khả năng gia giảm, và vì thế khoa học của người á đông không chính xác!

Trung lập và không tuyệt đối

Trong đo lường, dụng cụ đo lường phải tương đối không bị tác động bởi vật đo lường và vật đo lường cũng không bị tác động bởi dụng cụ đo lường. Nếu sử dụng để đo lường, dụng cụ đo lường phải hoàn toàn trung lập. Thật vô ích khi cân một cục nước đá trên chiếc cân đang nóng đỏ hừng hực.

Ðôi khi rất khó có thể đạt tới sự trung lập ấy, thí dụ vít vi kế (micrometer screw) sử dụng áp suất phút nào đó trên đối tượng đo lường. Tầm quan trọng của tính chất trung lập thì tương đối so với lợi ích của chúng ta vì có thể trong đời thường, chúng ta không quan tâm lắm tới sự hoàn toàn chính xác.

Dù đo lường không bao giờ có thể tuyệt đối, nhưng về mặt lý thuyết, nó luôn luôn có khả năng càng ngày càng trở nên tinh tế hơn, nhất là từ khi có phát minh các dụng cụ đo lường cảm ứng bằng điện tử, tuy vẫn có độ dung sai cực nhỏ. Bình thường, chúng ta có thể phát biểu rằng cái bàn này dài 1.2 mét nhưng chúng ta không có ý nói chiều dài ấy đúng tuyệt đối. Một dụng cụ đo lường bén nhạy hơn có thể cho thấy nó dài 1.2011 mét hay 1.2012 mét, và vân vân. Nếu có hai chục người đo cạnh bàn ấy với sự hoàn toàn chính xác có thể được thì có khả năng tất cả những người ấy đưa ra hai chục kết quả khác nhau cực nhỏ.

Tính chủ quan của đo lường

Người ta đo lường để thỏa mãn lợi ích riêng biệt. Và như đã nói rõ, có thể lợi ích ấy không đòi hỏi độ chính xác cao. Nếu chúng ta quan tâm tới chiều cao của một người, chúng ta có thể nói cho hợp với mục đích của mình rằng người ấy cao 1.6 mét, cho dù tại văn phòng tuyển mộ cảnh sát, người ấy bị từ chối vì chỉ cao 1.59 mét. Có thể văn phòng tuyển mộ cảnh sát chính xác hơn nhưng chúng ta không thể nói rằng họ hoàn toàn chính xác vì rất có thể việc đo lường người ấy có sự sai chạy một centimét.

Lại còn có loại đo lường theo “thốn” trong khoa châm cứu của người á đông. Ðể đo khoảng cách giữa các huyệt đạo của một người, người ta dùng thốn. Thốn thường có độ dài ngắn khác nhau tùy theo mỗi người, vì nó được tính bằng chiều dài của đốt giữa của ngón giữa trên bàn tay của người ấy!

Cách tính đơn vị trọng lượng cũng khác, một “kilô tây” (cân tây) thì bằng “10 lạng tây” (100 gram), trong khi “một cân ta” thì bằng “16 lạng ta” (37.5 gram). Như thế, 1 lạng tây bằng 2.666... lạng ta, và 1 cân ta bằng 6 lạng tây. Hơn hai mươi hai thế kỷ trước, ở sân miếu Vũ vương bên Tàu, Hạng Võ cử chiếc đỉnh nặng khoảng 5.000 cân tức 3.000 kilô tây; sách Hán Sở tranh hùng kể lại theo lời dân gian truyền tụng là Hạng Võ “cầm lấy chân đỉnh đưa cao lên trời, đi quanh miếu ba vòng mà sắc mặt vẫn không thay đổi” (bản dịch của Mộng Bình Sơn). Quả là sức mạnh xưa nay cực hiếm!

Ðo lường bằng điện tử

Nếu cứ đi theo lối ấy, chẳng mấy chốc chúng ta sẽ vượt quá nơi mà các dụng cụ của mình có thể đo lường với sự chính xác thỏa đáng, và vượt quá nơi mà bất cứ sự bén nhạy hơn nào cũng có ý nghĩa thực tiễn. Khoa học đã và đang phát triển những dụng cụ đo lường gần như không thể tin được, thí dụ các dụng cụ đo lường điện tử. Ðôi khi được gọi là hệ thống đo lường điện tử.

Chúng là các dụng cụ đo lường các đại lượng vật lý hoặc phi vật lý với sự trợ giúp của các thiết bị điện tử. Chúng thường cho thấy kết quả đo lường thông qua các phương tiện khác nhau. Tuy thế, dù gì đi nữa, khoa học cho tới nay và có lẽ sẽ không bao giờ cung cấp được một dụng cụ toàn hảo tới độ không để lại bất cứ giới hạn sai số nào. Trong các cuộc thi thể thao, thí dụ bơi lội hoặc chạy đua, tuy đã có dụng cụ đo tới một phần trăm của giây, đôi khi người ta còn phải cần tới sự ghi nhận của phim ảnh để xác định thứ tự của hai kẻ có vẻ như về tới đích cùng một thời điểm.

Khi đã hội đủ mọi điều kiện đo lường, chúng ta có thể kết hợp những đặc điểm được đo lường với các vạch chia mức độ trên dụng cụ đo lường. Các dụng cụ đo lường được thiết kế chu đáo để có thể đọc rõ kết quả đo lường bằng những đơn vị định chuẩn hoặc phân số. Dĩ nhiên các định chuẩn ấy được quyết định một cách độc đoán với sự gia giảm nhẹ nhàng có thể được, vì trong thiên nhiên không có thanh cân đo. Với các dụng cụ điện tử, thay vì vạch, trên mặt của dụng cụ hiện lên con số.

Như đã nói ở trên, chúng ta không thể nào nghĩ ra được những dụng cụ cân đo tuyệt đối chính xác để ứng xử hoàn toàn thỏa đáng với những cực kỳ tinh tế trong việc đo lường.

Nan giải và nhược điểm

Những nan giải của các thanh đo cho thấy không thể không có nhược điểm trong các phương pháp đo lường vừa kể, dù chúng ta không xem chúng quá nghiệm trọng đối với hầu hết các cứu cánh của cuộc đời. Tuy thế, ở cấp độ phức tạp hơn ta gặp phải những khó khăn sâu xa hơn.

Nếu chúng ta giả định rằng không gian có tính tuyệt đối và quả đất chuyển động qua đó theo vận tốc cố định, lúc ấy như nhà vật lý học người Ái Nhĩ Lan *George F. Fitzgerald (1851-1901) đã trình bày trong cái được gọi là “sự co rút Fitzgerald” (the Fitzgerald contraction), mọi đo lường bằng thanh đo nhân tạo đều có tính tương đối đối với điều kiện đo lường. Mọi dụng cụ đo lường làm bằng vật liệu cụ thể, nghĩa là hiện hữu trong dạng vật chất có thể sờ mó hoặc cảm ứng, đều lệ thuộc vào quá trình co lại hoặc rút ngắn ở vận tốc cao.

Nếu quả đất du hành với vận tốc ánh sáng trong chân không 299,792.458 cây số một giây, hết thảy những thanh đo bằng mét hoặc bằng yard chĩa đầu cùng hướng với chuyển động ấy đều sẽ bị giảm thiểu xuống số 0. Với vận tốc 257,600 cây số một giây, chúng sẽ bị giảm thiểu xuống một nửa. May mắn thay, hành tinh của chúng ta đang du hành với vận tốc 30.4 cây số một giây và nhờ thế, sự khác biệt của các dụng cụ đo lường chúng ta đang sử dụng quá nhỏ, không đáng kể.

Không-thời-gian và tương đối

Dĩ nhiên giả định về không gian tuyệt đối ấy có thể sai, và giả thuyết của Fitzgerald giải thích các kết quả âm tính kỳ lạ của cái được gọi là thí nghiệm *Michelson-Morley (1887) có thể không cần thiết.

Có thể khái niệm không-thời-gian (space-time conception) của *thuyết tương đối (theory of relativity) rọi đôi chút ánh sáng lên vấn đề ấy. Và bạn có thể tra cứu đề tài rất rộng lớn này để có những thảo luận đầy đủ hơn về nội hàm của nó trong vấn nạn vừa khó trả lời vừa kích thích trí tò mò này.

II. Những tiêu chuẩn

và áp dụng của toán học

Thời thế kỷ 17, các triết gia không đồng ý với nhau về ý nghĩa và lý do thành công của toán học. Bất đồng ấy có liên quan tới sự phân biệt giữa chủ nghĩa duy lý và chủ nghĩa duy nghiệm. Chủ nghĩa duy nghiệm – đúng như thuật ngữ ấy gợi ý – nhấn mạnh bản tính thực nghiệm của khoa học và không chịu xem là giá trị ý tưởng nào không thể truy tầm gốc tích của nó trong kinh nghiệm giác quan.

1. Toán học và thuyết duy nghiệm

Không bằng cớ kinh nghiệm

Trong toán học, có nhiều ý tưởng trung tâm không cho thấy chúng có rõ ràng xuất phát từ kinh nghiệm hay không, vì thế đã nảy sinh vấn nạn không biết chúng là những ý tưởng quả thật có giá trị hay chỉ là những giả tưởng.

Nhấn mạnh nguồn gốc kinh nghiệm và các tiêu chuẩn của toán học, giám mục Berkeley cảm thấy khó khăn khi tìm cách am hiểu một số điều tưởng tượng có tính toán học. Các nhà toán học đều đồng ý rằng bất cứ sự triển khai nào cũng có thể chia ra tới vô tận, nhưng chưa bao giờ có thể đưa ra bằng cớ kinh nghiệm nào để chứng minh cho lời khẳng định ấy, vì không ai có khả năng nhận thức các phần nhỏ tới vô tận trong bất cứ sự triển khai nào.

Tính chia vô tận bất khả thi

Trong cuốn A Treatise Concerning the Principles of Human Knowledge (Luận án về các nguyên lý của tri thức con người, 1710), Berkeley viết rằng:

“Không thể xác nhận tính chia vô tận (infinite divisibility) của sự triển khai hữu hạn một cách rõ ràng như một định đề hay một định lý trong các thành tố của ngành khoa học đó, tuy thế nó hiện hữu khắp những chỗ không được giả dụ và được cho là có liên quan một cách cốt tủy và không thể tách rời với những định lý và những chứng minh trong hình học, khiến cho nhà toán học không bao giờ cảm thấy nghi ngờ hoặc thắc mắc tối thiểu về nó... Mọi sự triển khai có tính hữu hạn và đặc thù có khả năng là đối tượng tư duy của chúng ta đều là những ý tưởng hiện hữu trong tâm trí, và hệ quả là phải nhận thức từng phần của nó... một khi đã khảo sát thấu đáo và chẳng tìm thấy nó, khiến cho trong bất cứ trường hợp nào, vấn đề thiết yếu là sử dụng những phần vi phân của những tuyến hữu hạn hay phải quan niệm chúng, hoặc thậm chí những phẩm tính nhỏ hơn độ nhạy cảm tối thiểu; và còn hơn thế nữa, sẽ có bằng cớ rằng không bao giờ hoàn tất được việc đó, nó bất khả thi”.

2. Toán học và lý trí

Chỉ cần suy luận có thứ tự

Là người theo chủ nghĩa duy lý, Descartes phủ định tính ưu việt của tri thức giác quan vì đặc tính ảo giác và lừa mị của nó; ông quả quyết rằng chỉ có thể sở đắc tri thức bằng thao luyện lý trí. Do đó, lý trí phải có những ý tưởng không đến từ cảm giác và bởi thế, chúng được chứng minh là những ý tưởng xác thực.

Descartes là một nhà toán học nổi tiếng; tính chắc chắn của toán học gợi cho thấy khả năng với tới cái chắc chắn trong lãnh vực triết học bằng cách áp dụng vào tư duy triết học những phương pháp được dùng và đã chứng tỏ hiệu năng của chúng trong toán học. Hình học mang bản sắc *Euclid, nhà toán học Hi Lạp sống khoảng thế kỷ 3 và 4 trước C.N., bắt đầu với các tiền đề không đặt cơ sở trên bất cứ xác minh thực nghiệm nào vì tự thân chúng là chứng cớ cho chúng.

Theo Descartes, tự những tiền đề ấy ắt có và đủ cho việc thẩm tra bằng lý trí để tín nhiệm chân lý của chúng; chúng không thể có và cũng không cần chứng cớ hình thức nào. Do đó, những tiền đề căn bản của toán học được nắm bắt bằng trực giác trí tuệ (intellectual intuition).

Phát xuất từ các tiền đề, ta có thể suy ra những định lý rất phức tạp bằng cách đi theo phương pháp suy luận có thứ tự. Mọi bước suy diễn đều phải được bảo đảm bằng trực giác. Hoàn toàn không thể viện dẫn kinh nghiệm để chứng minh kết quả đó có giá trị hay không. Vì lý trí là công cụ thích đáng duy nhất của chân lý, nên một khi các định lý đã được lý trí khẳng định hoặc chấp nhận thì chúng phải đúng cho dẫu chúng có vẻ xung khắc với chứng cớ của giác quan.

Tính chia vô tận khả thi

Vì thiên về duy nghiệm chủ nghĩa, Berkeley lập luận rằng tính chia vô tận là bất khả thi, trong khi đó Descartes quả quyết rằng tính chia vô tận là một ý tưởng có giá trị. Trong thực tế, Descartes dùng thực tại của tính chia vô tận để phủ định sự chính xác của lý thuyết nguyên tử vì theo nghĩa đen, nguyên tử có nghĩa là “nguyên”, không thể phân chia, và như thế, từ ngữ ấy gợi cho thấy không thể chia vật chất tới vô tận.

Trong cuốn Principia Philosophiae (Những nguyên lý triết học, 1664), Descartes viêát rằng: “Tôi thừa nhận nhiều phân tử trong mỗi bộ phận được nhận thức không bởi giác quan nào của chúng ta. Và điều đó có lẽ sẽ không được chấp nhận bởi những ai xem giác quan là phương thế để có thể biết... Ít nhất trong các triết gia, những kẻ cho rằng có thể chia lượng tính tới vô tận, phải thừa nhận rằng trong tính chia ấy, các phần có thể càng lúc càng trở nên rất nhỏ cho tới khi không thể nhận thức một cách toàn bộ”.

Chia được nguyên tử

Descartes còn nói rằng ông bác bỏ thuyết nguyên tử của Democritus “vì ông ấy giả dụ rằng có những hạt không thể phân chia”.

Thực tế, tiến bộ của khoa học kỹ thuật nửa sau thế kỷ 20 đã chứng tỏ nguyên tử có thể được phân chia thành những vi phân tử (dưới nguyên tử, sub-atomic particles), và rồi các vi phân tử được chia thành các vi hạt quark, và rồi vẫn chưa biết tính chia ấy sẽ dừng lại hay tới vô tận.

3. David Hume

Kinh nghiệm không chắc chắn

Xung khắc về căn nguyên của các ý tưởng toán học chuyển thành xung khắc về cơ sở tính chắc chắn của chúng. Hume, triết gia và sử gia Tô Cách Lan, kẻ đi theo truyền thống duy nghiệm của Locke và Berkeley, phân biệt các ý tưởng của lý trí với các ý tưởng của sự kiện thực tế. Cái sau là các ý tưởng về các đối tượng thông thường của kinh nghiệm, nền tảng của khoa học thực nghiệm, và là những yếu tố duy nhất làm gia tăng tri thức của con người.

Vì các sự kiện thực tế đều có khả năng tiềm ẩn cái trái ngược, thí dụ, không nhất thiết mặt trời phải mọc sáng mai, nên những phát biểu tiên đoán của khoa học thực nghiệm không thể chắc chắn tuyệt đối. Ðiều này tương phản với các kết luận của toán học vốn chắc chắn tuyệt đối. Hume nghĩ rằng sở dĩ có sự chắc chắn ấy là do bởi thực tế rằng toán học hoàn toàn không liên quan tới kinh nghiệm, nó chỉ liên quan tới tương quan giữa các ý tưởng được rút ra từ chính nó.

Toán học, công cụ để khám phá

Theo Hume, các kết luận của toán học rất chắc chắn vì chúng chỉ ứng xử với các tương quan ấy và chỉ thế thôi, chúng không quả quyết rằng mình đang thêm cái gì đó vào kho tàng tri thức của con người. Phát biểu “2 cộng 2 thành 4” là một minh họa cho tính chắc chắn của toán học, và không một ai có thể tra vấn tính chính xác của khẳng định ấy. Trái lại, ta dễ dàng giải thích cái chắc chắn của nó vì quả thật chỉ có thể nói giống y như thế trong hai vế của một phương trình (2 + 2 = 4).

Ta có thể chứng minh khẳng định ấy một cách chi tiết hơn bằng cách triển khai phương trình ấy, vì rõ ràng [1 cộng 1] cộng với [1 cộng 1] thì giống một cách chính xác với [1 cộng 1 cộng 1 cộng 1 cộng 1]. Các phán đoán toán học đều chắc chắn vì chúng có tính phân tích; chúng tái lập sự xác nhận cái được cung cấp sẵn trong chủ đề. Ðiều này nếu quả đúng, nó biến toán học thành một môn học quan trọng không những để làm sáng tỏ các ý tưởng của chúng ta mà còn khiến cho nó được dùng làm một công cụ để khám phá.

Descartes phản bác

Là người duy lý chủ nghĩa, Descartes bác bỏ quan điểm đó. Ông quả quyết rằng gốc của các nguyên lý toán học như những tiền đề đã ngăn cản những giới hạn của toán học đối với các nguồn của kinh nghiệm và rằng bản tính của lý trí đủ để bảo đảm sự suy diễn toán học từ những tiền đề ấy, thể hiện sự tăng tiến đích thực trong tri thức.

Bản thân Descartes đã dùng toán học như một công cụ khám phá; toàn bộ triết học của ông thẩm thấu tinh thần và phương pháp của các bộ môn toán học.

4. Các thái độ hiện đại

Vấn đề của toán học

Do đó, toán học có vấn đề về nguồn gốc ý tưởng của nó và các tiêu chuẩn (criteria) về tính chính xác của nó. Những tiến bộ của khoa học trong thế kỷ 19 và đặc biệt trong thế kỷ 20 dường như khiến cho sự viện dẫn kinh nghiệm cứng nhắc thành bất khả thi, đặc biệt trong khoa học không gian, vũ trụ học và cơ học lượng tử.

Mặt khác, các triển khai trong hình học bao hàm việc tra vấn cơ sở nguyên tử và thách đố các tiêu chuẩn về sự chắc chắn mà Descartes đã nhấn mạnh.

Có vẻ hiển nhiên là các đường thẳng song song nếu kéo dài tới vô tận sẽ không bao giờ gặp nhau. Hình học Euclid quả quyết rằng đó là chân lý. Nhà toán học người Ðức *Bernhard G. Riemann (1826-1866) cùng những người khác tra vấn tiền đề ấy. Họ phủ định việc xem một tiền đề là hiển nhiên nếu ta có thể rút tỉa nó từ những tiền đề khác, đồng thời họ có thể chứng minh rằng từ những giả định khác có thể đạt tới một kết luận ngược lại.

Do đó, toán học buông bỏ ý tưởng có các định lý hiển nhiên; nó tập trung vào việc làm rõ nội hàm của các tập hợp định đề khác nhau theo những qui tắc đã được chấp nhận một cách tổng quát trong lập luận toán học. Từ đó, đối với chúng ta, vấn đề ấy tuy chưa được giải quyết nhưng đã mang một dạng khác và trong dạng này, nó đòi hỏi phải có câu trả lời.

Không cần viện dẫn kinh nghiệm

Một số nhà tư tưởng thấy không còn cần phải kiểm chứng các kết luận của toán học bằng cách viện dẫn kinh nghiệm vì tính chất nhất quán của hệ thống toán học đủ để bảo đảm sự chính xác của nó. Chừng nào toán học còn có thể cho thấy không có mâu thuẫn hoặc không có các lầm lẫn cá nhân can dự vào những suy diễn từ tập hợp các định đề được cung cấp, chừng đó nó vẫn không cần tới viện dẫn nào khác.

Như thế, toán học có vẻ là sáng tạo phẩm của chính tâm trí và chỉ là đối tượng của các qui tắc lập luận; nó không tùy thuộc vào thực tế kinh nghiệm để có nguồn gốc hoặc để kiểm tra. Ðiều ấy không có nghĩa toán học biến thành một trò chơi, như đánh cờ tướng, để thưởng ngoạn cái hay ho của nó như nhà toán học Pháp *Henry Poincaré (1854-1912) từng đề nghị, hoặc như một trắc nghiệm trí thông minh. Trái lại, toán học là một yêu cầu của lý trí nhằm thăm dò các ý tưởng hợp lý bằng các phương pháp hợp lý.

Nhà toán học và triết gia Ðức *Luitzen Egbertus Jan Brouwer (1881-1966) quả quyết rằng: “Toán học là sáng tạo phẩm tự do, độc lập với kinh nghiệm; nó phát triển từ trực giác có nguồn gốc đơn thuần suy diễn vốn có thể được gọi là sự bất biến trong biến đổi hoặc sự đồng nhất trong thực tại.” [Trích theo cuốn The Engines of Logic, (Các cỗ máy của luận lý học, 2000) của Martins Davis, Nxb W. W. Norton, London].

5. Chủ nghĩa duy vật và toán học

Nguồn từ hoàn cảnh xã hội và thiên nhiên

Ngược lại, chủ nghĩa *duy vật biện chứng (dialectical materialism) quả quyết rằng toán học bắt đầu trong hoàn cảnh thực tiễn của xã hội và con người không thể nào thoát ra khỏi hoàn cảnh. Vì ý thức của con người chỉ là phản ánh hoàn cảnh vật chất của nó nên hết thảy các ý tưởng nó sở hữu đều có nguồn gốc vật chất.

Trong khi đó, quả thật sự trừu tượng hóa có thể đã được làm nên từ một hoàn cảnh đã định và từ sự khái quát của một khái niệm đã được triển khai, khiến cho toán học có vẻ như là một sáng tạo phẩm của con người, vì thế ta phải bác bỏ bất cứ nỗ lực nào nhằm cách ly hình thức với nội dung. Không cần phải có thêm chứng cớ cho lập trường này vì nó đã được chứng minh bằng những ứng dụng thực tiễn và liên tục của toán học vào các vấn đề của tự nhiên.

Người duy vật chủ nghĩa nói rằng nếu toán học hoàn toàn có tính hình thức, sự ứng dụng thực tiễn của nó hẳn là một bí nhiệm không cắt nghĩa nổi, vì chúng ta phải chứng minh làm thế nào một sáng tạo phẩm tự do của tâm trí con người đang thao tác theo những định luật của tư duy lại có thể dùng để dự báo động thái (behaviour) của các đối tượng thiên nhiên và bên ngoài con người. Chính vì toán học có cội rễ trong tự nhiên nên mới có thể ứng dụng như thế.

Toán học phải thực dụng

Người duy vật chủ nghĩa tiếp tục lập luận rằng sự chú ý tới tính chất nhất quán hình thức (formal consistency) không đủ để có thể kiến lập chân lý cho bất cứ phát biểu nào có tính toán học hay ngược lại. Với họ, tiêu chuẩn sau cùng phải là những hệ quả thực dụng hoặc sự kiểm soát có thể được. Bởi thế, chân lý của toán học quả thật được hàm chứa trong khả năng đưa ra những dự báo về thế giới tự nhiên, cái là đối tượng của sự xác minh bằng kinh nghiệm. Lập trường này phát sinh từ học thuyết chủ trương phân biệt giữa tư tưởng với hành động, lý thuyết với thực hành.

Khi một học thuyết như thế quá được xem trọng, người ta có thể dùng nó để trừ khử một đối tượng bằng việc buông bỏ mọi cuộc thẩm tra có vẻ chẳng mang lại ứng dụng thực tiễn nào – trừ phi người ta có thể chứng minh việc giữ không cho các nhà toán học can dự vào bằng niềm hy vọng rằng những suy tưởng mà lúc này dường như xa rời thực tại, có thể tới một ngày nào đó, sẽ có được sự ứng dụng thực tiễn của chúng. Thí dụ lý thuyết về những tiết diện hình nón phải chờ tới hơn hai ngàn năm mới có được sự ứng dụng thực tiễn của nó trong khoa học của nhà thiên văn học Ðức *Johannes Kepler (1571-1630).

6. Chủ nghĩa hình thức

Toán học là của tâm trí

Phản bác khái niệm mang tính duy vật chủ nghĩa ấy là một dọc các nhà toán học thuộc trường phái *duy hình thức chủ nghĩa (formalistism) *duy trực giác chủ nghĩa (intuitionism).

Theo họ, chắc chắn các ký hiệu toán học có vẻ là những sáng tạo phẩm của tâm trí và các qui luật về suy diễn toán học có vẻ là những điều kiện do tâm trí đặt ra. Tính khả thi của việc đề ra một hệ thống đầy đủ lập luận toán học từ một số định đề mà không chứng minh chân lý của nó, đã đưa tới giả thuyết rằng toàn bộ nội dung toán học có thể được rút gọn thành một ít tiền đề tổng quát.

Trong cuốn Principles of Mathemathics (Các nguyên lý của toán học, 1903) Whitehead cùng triết gia, nhà toán học và nhà văn Anh Bertrand Russell đã dũng cảm nỗ lực tiến hành thao tác đó nhằm tìm cách chứng minh rằng đã biến mất đường biên giữa toán học và luận lý học (logic), và rằng có thể xem xét toàn bộ cấu trúc của toán học từ những nguyên tắc ít mang tính luận lý.

Ðiều này nếu lập thành, sẽ chứng minh rằng toán học quả thật là một sáng tạo phẩm của tâm trí và rằng toán học không đòi hỏi các tiêu chuẩn khác của chân lý ngoài tính nhất quán của chính nó và sự tuân giữ nghiêm ngặt các định luật tổng quát của tư duy. Tuy thế, cần phải nói rõ rằng Russell xem thế giới kinh nghiệm là nguồn của các dữ liệu có tính luận lý (logical data).

Môn học lý tính và tự tính

Không thật sự thành vấn đề việc toán học có bắt đầu trong những lợi ích xã hội hay không, vì ta không thể nào lần theo dấu vết của sự khái quát được thành tựu ngày nay để truy ngược trở lại tới bất cứ dữ liệu kinh nghiệm đơn giản nào. Cho dẫu có thể làm được như thế đi nữa cũng chẳng tác động gì lên bản tính hoặc chức năng của toán học như một môn học lý tính tự nó chứa đựng nó.

Trong cuốn Philosophical Physics (Vật lý học triết lý,1950), trang 303, Nxb Harper & Bros, giáo sư Vincent Edward Smith viết rằng: “Mục đích chính của thuyết duy hình thức là tìm cho ra một hệ thống toán học nhất quán và đầy đủ từ những tiền giả định (presuppositions) ít khả thi nhất”.

7. Các hàm ý

Nghiên cứu bản tính vũ trụ

Ngày nay, việc nghiên cứu bản tính của vũ trụ là một chủ đề sống động được quyết định bởi bản tính hiện thời của tra vấn toán học, điển hình qua các công trình vũ trụ học của ông hoàng vật lý lý thuyết Stephen Hawking. Tuy thế, không có khả năng có thể tìm thấy giải pháp cho vấn đề ấy trong tự thân toán học vì các vấn đề liên quan tới nó có vẻ như dàn trải tới quá bên kia đường biên của nó. Giải pháp ấy đòi hỏi một khái niệm tổng quát về bản tính của vũ trụ, và các thái độ khác nhau về vấn đề ấy sẽ phản ánh sự bất đồng vẫn còn tiếp diễn trong phạm vi siêu hình học.

Sự quan tâm tới chủ đề ấy cũng có tính triết học một cách sâu xa vì nó thừa nhận rằng cho dẫu toán hoặc mang tính *hình thức chủ nghĩa hoặc mang tính *tự nhiên chủ nghĩa, ít nhất cũng có thể dùng một số kết luận của nó và các kỹ thuật của nó để nghiên cứu sâu hơn vào bản tính của vũ trụ vật lý. Bản tính thì dễ bị ảnh hưởng bởi cách xử lý mang tính toán học và như thế, phải có mối tương quan nào đó giữa toán học và bản tính của vũ trụ.

Dự đoán thiên nhiên

Chúng ta có thể tự hỏi làm thế nào các nhà khoa học chỉ thao tác với các ký hiệu toán học lại có thể đưa ra những dự đoán về thiên nhiên – thí dụ lời tiên đoán của Einstein về sự lượn cong của ánh sáng trong vùng lân cận mặt trời; Hawking chứng minh sự hữu hạn của vũ trụ, đặc tính của hố đen, v.v. – hoặc cung cấp các lời giải thích khái quát về các hiện tượng thiên nhiên theo những nguyên tắc của thuyết tương đối.

Những tiếp cận mang tính duy nghiệm chủ nghĩa hoặc duy vật chủ nghĩa vào bản tính của toán học dường như cho thấy không khó giải thích sự ứng dụng của toán học vào các hiện tượng tự nhiên, vì toán học, ngay trong quan điểm của nó, chỉ quan tâm tới những tương quan được rút tĩa từ kinh nghiệm.

Tuy thế, tính khả thi của điều đó, đặc biệt khi triển khai sự khái quát hóa theo những định luật của tư duy, hàm ý một trật tự tổng quát trong tự nhiên, cái không thể giải thích dựa trên sự khẳng định đơn giản về các tương quan vật chất.

Vấn đề của người duy vật

Nếu vũ trụ là một hệ thống có tính biện chứng một cách đích thực như người theo chủ nghĩa Marx tuyên bố, ta có thể tự hỏi làm thế nào các nguyên lý về trật tự được triển khai bằng sự trừu tượng hóa vốn xuất phát từ kinh nghiệm, lại có thể tái áp dụng thêm nữa mà không có sửa đổi nào.

Người duy vật chủ nghĩa có thể trả lời rằng không thể có vấn đề sửa đổi vì chân lý toán học không chỉ được kiến lập bởi một mình các định luật của lý trí mà còn phải kiểm tra dựa trên cơ sở thực nghiệm. Kết luận toán học chỉ được xác minh khi nó hữu hiệu, nếu nó không có khả năng ứng dụng thì cũng không phát sinh vấn đề chân lý của nó.

Vấn đề của người duy tâm

Trong các tác phẩm văn học mang tính duy vật chủ nghĩa, người ta có thói quen trình bày lập trường mang tính duy tâm chủ nghĩa như thể nó duy trì sự phân biệt giữa vật chất với tinh thần và nó bị buộc phải đối mặt với vấn đề chứng minh làm thế nào những cơ sở kiến trúc tinh thần có thể ứng dụng vào vật chất như một trật tự khác của Ðấng Hữu thể.

Có thể có một số người duy tâm chủ nghĩa duy trì một lập trường như thế nhưng nó không là đặc điểm của triết học mang tính duy tâm chủ nghĩa, nó cũng không được đại diện bởi người duy tâm khách quan chủ nghĩa (objective idealist) nổi tiếng nào.

Triết gia Anh Bernard Bosanquet khẳng định không có sự phân biệt tối hậu giữa tinh thần với vật chất, và thực tế, ông quả quyết rằng các hiện tượng tinh thần đều dựa trên các điều kiện vật chất, thí dụ thế giới vật lý và thể xác của con người. Ông nói tới tâm trí (mind) như một tính chất ngoại tại (externality) trở thành một tính chất nội tại (internality), như thế giới vật chất trở thành có ý nghĩa.

Theo Bosanquet, sự khái quát không ở trong bản tính tổng quát của kinh nghiệm nhưng ở trong thông giải nó. Người duy tâm chủ nghĩa quả quyết rằng thựïc tại nền tảng của Tâm trí Tuyệt đối (Absolute Mind) biểu thị trong vật chất và rằng kinh nghiệm chỉ là sự trở về trạng thái tinh thần của cái thật sự là tinh thần.

8. Chủ nghĩa duy tâm và toán học

Hiểu sai lạc toán học

Ðối với người duy tâm chủ nghĩa, vấn đề toán học thuộc về một trật tự khác, chủ yếu phát sinh từ sự hiểu sai lạc của họ về bản tính của toán học. Whitehead thông báo với chúng ta rằng ông từng có lần khởi sự đọc tác phẩm của triết gia Ðức *Friedrich Hegel (1770-1831) nhưng chẳng may ông mở cuốn sách nhằm ngay phần ứng xử với toán học, và ông rất cực lòng về những gì mình đọc thấy ở đó, tới độ không nghĩ tới chuyện sẽ đọc thêm nữa.

Tôi tin rằng trong cuốn Reason and Nature (Lý trí và thiên nhiên, 1931), triết gia Do Thái *Morris Raphael Cohen (1880-1947) đã nói đúng khi ông cho rằng chính việc chủ nghĩa duy tâm hiểu sai lạc bản tính và chức năng của toán học đã khiến cho người ta không quan tâm tới chủ nghĩa ấy. Có thể thấy cơ sở của sự hiểu sai lạc này trong cách người duy tâm chủ nghĩa nhìn bản tính của sự tra vấn thích đáng. Và điều ấy lộ ra rõ nét nhất trong sự phân biệt cái phổ quát trừu tượng (the abstract universal) và cái phổ quát cụ thể (the concrete universal).

Ðồng nhất và dị biệt

Trong khi hình thành một khái niệm, có vẻ như chúng ta rút tỉa từ những đối tượng khác nhau ra các điểm tương đồng và cùng lúc ấy, chúng ta không quan tâm tới các điểm dị biệt của chúng. Chúng ta đạt tới ý tưởng tổng quát về “đỏ” bằng việc rút tỉa màu sắc chung từ hoa dâm bụt màu đỏ, mặt trời lặn màu đỏ, lá cờ đỏ, trái lựu đỏ, máu đỏ, v.v. Dường như đối với chúng ta, điều quan trọng là công nhận cái đồng nhất và từ khước những cái dị biệt.

Rủi thay, khi khảo sát phương pháp này trong một số cái phổ quát, chúng ta thấy ra rằng nếu phương pháp ấy đúng, chúng ta chỉ còn lại cái phổ quát với nội dung rỗng tuếch khiến cho nó vô nghĩa. Trên cơ sở đó, ý tưởng “tam giác” của tôi không thể có bất cứ hình dạng nào vì nó mang cái chung chung, phát sinh từ hình có hai cạnh dài bằng nhau (tam giác cân), hình không có hai cạnh nào dài bằng nhau (tam giác lệch), hình có cả ba cạnh bằng nhau (tam giác đều), như thế gạt sang một bên những dị biệt của chúng, và những dị biệt ấy nằm trong hình dạng.

Bảo thủ cái phổ quát cụ thể

Vì tôi không thể thể hiện một tam giác mà không có một hình dạng nào đó nên có nghĩa rằng tính phổ quát không bao giờ được biểu hiện cũng như được tưởng tượng. Khi áp dụng phương pháp đó cho con người, chúng ta thấy rằng con người phổ quát không thể vừa cao lại vừa thấp, vừa vàng lại vừa đen, vừa béo lại vừa gầy, do bởi chúng ta phải chiết ra từ những cái dịi biệt.

Người duy tâm chủ nghĩa gọi các khái niệm như thế là những cái phổ quát trừu tượng (the abstract universals) và vạch rõ tính chất bất thỏa đáng của chúng. Họ thích dùng những cái phổ quát cụ thể (the concrete universals), qua đó họ có ý nói rằng những cái phổ quát điều chỉnh mọi dị biệt bên trong chúng. Nếu chúng ta bắt đầu cuộc sống trí thức của mình trong xã hội, nơi mọi người đều có nước da vàng và tầm thước, ý tưởng của chúng ta sẽ bao gồm cái vàng và cái không cao.

Nếu sau đó chúng ta gặp một số du khách, tây ba-lô chẳng hạn, cao và trắng hoặc đen, và một số vật khác, chúng ta phải điền chỉnh định nghĩa của mình để bao gồm những cái dị biệt. Phải gom vào trong khái niệm ấy những sự kiện mới, và như thế, ý nghĩa của từ ngữ “con người” được triển khai để tính luôn cả những dị biệt đó.

Ðồng nhất trong dị biệt

Khái niệm đầy đủ về con người không là một khái quát trống rỗng hoặc đồng nhất đơn thuần nhưng đúng ra là một quan sát tổng hợp tất cả những dị biệt hiệp nhất với nhau vì nguyên lý về đồng nhất. Do đó, cái phổ quát cụ thể là cái đồng-nhất-trong-dị-biệt (a identity-in-difference) chứ không chỉ lấy những gì hoàn toàn đồng nhất hoặc chỉ lấy những gì hoàn toàn dị biệt.

Công tác của triết học, theo các nhà duy tâm chủ nghĩa, là hình thành một lý thuyết nhất quán và toàn diện về vũ trụ trong đó toàn thể vạn vật được phô bày trong cùng một lúc những cái dị biệt, được buộc vào nhau bằng cái đồng nhất tối hậu. Hệ thống đầy đủ này hoặc cái phổ quát cụ thể là cái được người duy tâm chủ nghĩa gọi là cái tuyệt đối.

Khuyết điểm của toán học

Theo hệ thống duy tâm ấy, tư tưởng chỉ tăng tiến một cách thích đáng khi nó liên quan tới những cái phổ quát cụ thể. Do đó, toán học không là công cụ của tri thức thật sự; vì mang tính trừu tượng cao độ, toán học chỉ tập trung vào các tương quan và vào các thành tố của sự đồng nhất được chiết ra từ những cái dị biệt.

Cũng theo người duy tâm, trong khi toán học tất yếu phải ứng xử với tương quan được thật sự rút tỉa từ kinh nghiệm, nó không thể nào cung cấp thông tin hoàn toàn thích đáng về tự nhiên, vì đó là cái nhà toán học không thèm đếm xỉa, và đó cũng là cái quan trọng nhất để có được tri thức đầy đủ.

Nan giải của người duy tâm

Hầu như không cần phải vạch rõ rằng người duy tâm chủ nghĩa sẽ gặp phải nan giải khi biện minh cho cuộc mạo hiểm có tính suy tưởng của các nhà toán học, cách riêng khuynh hướng của những người như Bertrand Russell, kẻ muốn giảm thiểu toán học thành môn học hoàn toàn hình thức. Sở dĩ như thế vì người luận lý duy tâm chủ nghĩa (idealistic logic) cứ nhất định quả quyết rằng không thể nào rút tỉa hình thức từ nội dung và xử lý nó như có ý nghĩa trong chính nó.

9. Chủ nghĩa duy nghiệm và Kant

Nan giải vì duy nghiệm

Có lẽ trong đầu của người duy vật chủ nghĩa đã thật sự có hình bóng của những kẻ như Berkeley và Kant khi họ phản đối triệt để chủ nghĩa duy tâm; tuy thế, những nan giải của hai triết gia ấy không phát sinh từ chủ nghĩa duy tâm của mình mà từ chủ nghĩa duy nghiệm của mình.

Berkeley đồng ý với Locke rằng:

1. Không thể xem là có giá trị những ý tưởng không bắt nguồn từ kinh nghiệm giác quan;

2. Vì không thể nào có việc ý tưởng trừu tượng đến từ kinh nghiệm giác quan nên nếu toán học cho rằng nó đang ứng xử với các ý tưởng trừu tượng, thì dứt khoát ý kiến ấy phải sai lầm;

3. Chắc chắn các ý tưởng ấy, nếu thật sự khả thi, không thể được dùng để khẳng định bản tính của thế giới vật lý.

Ðể chứng minh cho các luận cứ ấy, chúng ta đã đưa ra một thí dụ trong thái độ của Berkeley đối với lý thuyết về tính chia vô tận.

Về phần Kant, ông đồng ý tri thức bắt đầu với kinh nghiệm. Thế nhưng ông cho rằng nó không bị giới hạn trong kinh nghiệm vì ông nhấn mạnh hoạt động của tâm trí trong trạng thái bình thường. Theo Kant, trật tự của thiên nhiên không được cung cấp bởi bất cứ giác quan nào nhưng nó do tri thức đặt ra, như một điều kiện thiết yếu của kinh nghiệm.

Những điều kiện tiên nghiệm

Newton giả định rằng không gian và thời gian là hai vật có thật trong thế giới ngoại tại. Kant cho rằng nếu chúng quả thật như thế, chúng ta không bao giờ có thể nhận biết chúng vì các giác quan, tuy có khả năng báo cho chúng ta biết màu sắc và hương thơm của hoa hồng, nhưng không thể báo cho chúng ta biết chút nào về không gian và thời gian.

Vì không thể lĩnh hội bằng cách tri giác (nhận thức, perceive) không gian và thời gian nên, theo lý thuyết Kant (Kantism), chúng ta phải bác bỏ ý tưởng về tính ngoại tại của chúng và chúng ta nên thấy chúng như là các điều kiện chủ quan được đặt ra bởi bản tính của cảm quan (sensibility) của chúng ta; chúng là những điều kiện tiên nghệm (a priori conditions) mà nếu không có chúng, chúng ta không thể nào có kinh nghiệm.

Không gian thời gian là chủ quan

Nếu quan điểm ấy đúng, có thể khẳng định rằng bất cứ cái gì có thể phô diễn một cách chính xác về không gian và thời gian nhất thiết phải ứng dụng vào thế giới của kinh nghiệm mà chúng qui định.

Do đó, bằng việc biến không gian và thời gian thành chủ quan, Kant tìm cách giải quyết vấn đề áp dụng bản tính của toán học, vốn được một số người xem là một môn học hoàn toàn lý tính.

III. Tóm lược

Toán học, công cụ khám phá

Các lý thuyết khác nhau ấy về nguồn gốc, tiêu chuẩn và ứng dụng của toán học tiêu biểu cho các lối tiếp cận khác nhau vào vấn đề làm thế nào toán học – một môn học có vẻ như giả tạo, do con người sáng chế, chỉ liên quan tới các ký hiệu và chỉ là đối tượng của các định luật về tư duy – lại có thể được dùng làm công cụ khám phá.

Quan điểm của nhà triết học

Người duy vật chủ nghĩa lập luận rằng điều đó khả thi vì tư tưởng không là gì cả mà chỉ là chỉ là phản ánh thế giới vật chất, và người duy tâm chủ nghĩa cũng đồng ý với lập trường đó. Sự khác biệt giữa hai hệ lý thuyết ấy tùy thuộc vào những lượng giá khác nhau của chúng về trạng thái và bản tính của thế giới vật chất cùng ý nghĩa của tâm trí.

Ðối lập với hai lập trường ấy là những người quả quyết rằng toán học thật ra không được rút tỉa chút nào từ thế giới này; nó hoàn toàn hoạt động một cách độc lập. Có thể đặt cơ sở cho phát biểu ấy trên giả định rằng tâm trí thì tách biệt với thế giới vật chất, cái tự nó có bản tính cùng các luật lệ của chính nó. Bởi thế, như chúng ta đã thấy, Kant phải giải quyết vấn đề ứng dụng thực tiễn của toán học bằng cách làm cho thế giới này thành một thế giới được trải nghiệm và có trật tự nhờ các nguyên lý độc lập của không gian và thời gian.

Quan điểm của nhà toán học

Trong khi bác bỏ nguồn gốc chủ quan của các nguyên lý thiết lập trật tự, nhiều người vẫn sẵn sàng xem toán học có tính hoàn toàn hình thức và trừu tượng cũng như không được rút tỉa từ kinh nghiệm. Lúc đó, vấn đề là thiết lập một hệ thống các tiền đề mà không cần phải viện dẫn chân lý hoặc nguồn gốc kinh nghiệm để chứng minh chúng, và khám phá nội hàm của chúng. Các nhà toán học có quan điểm này tự thấy không cần phải quan tâm tới các kết quả của họ có mang tính ứng dụng thực nghiệm hay không.

Có thể xảy ra việc một nhà vật lý, vốn quen thuộc với toán học, khám phá ra các mối quan hệ trong thiên nhiên tương ứng với một suy tưởng nào đó về những kiểu mẫu trật tự nhất định được thảo luận trong toán học. Lúc đó, nhà vật lý ấy có thể hướng tới các nhà toán học để quyết định xem nội hàm nào liên quan tới khám phá của mình.

Những suy diễn toán học không bảo đảm cho chân lý của các kết quả ấy nhưng chúng cung cấp sự hướng dẫn để nhà vật lý nghiên cứu sâu xa thêm vì chúng gợi ra những cái cần tìm kiếm. Nói cách khác, không kết luận toán học nào có thể tự tuyên bố nó là một thí dụ minh họa có tính thực nghiệm; điều chủ yếu vẫn là quan sát thật sự trên cơ sở thực nghiệm.

Quan điểm của thuyết tiến trình

Các nhà tư tưởng khác khẳng định rằng triết học tiến trình (the process philosophy), bằng việc bảo lưu ý kiến cho rằng cá nhân là một tổng hợp môi trường của nó, đã cho thấy thế giới này không là cái gì đó ở bên ngoài chúng ta và ngẫu nhiên được làm cho thích hợp với tâm trí của chúng ta, nhưng cá nhân, bằng cách thức nào đó, biểu lộ trong bản thân nó bản tính của thế giới.

Do đó, chừng nào cá nhân còn triển khai những nguyên tắc về trật tự trong kinh nghiệm của chính nó, chừng đó nó còn thẩm tra bản tính của trật tự trong tự thân vũ trụ.

Triển khai nguyên lý trật tự

Vì có sự hợp tác của tha nhân (other persons), những kẻ cùng chia sẻ kinh nghiệm, nên có khả năng triển khai thành hệ thống toán học những nguyên lý trừu tượng về trật tự trong một chuỗi rộng lớn những cái khái quát bị chi phối bởi các định luật tổng quát về tư duy.

Nhờ hoàn cảnh may mắn ấy mà có được tính khả thi cho khoa học, cái quan tâm tới những tương quan của các biến cố, hoặc cái được chúng ta gọi là những nguyên lý trật tự, để tăng tiến thành những cái nhìn thấu suốt mới mẻ và thăm dò sâu xa hơn vào bí mật của thiên nhiên.

IV. Kết luận

Khoa học nhờ toán học

Triết gia người Anh Francis Bacon, kẻ được một số người đánh giá là thân phụ của thời hiện đại chúng ta, đã mù mờ về toán học. Ông bác bỏ toán học như một công cụ duy nhất sắp xếp những tri thức nhận được từ các nguồn khác và ông cho rằng nó không có giá trị trong việc khám phá khoa học. Lịch sử của khoa học, cách riêng trong hai thế kỷ 19 và 20 vừa qua, là một luận cứ không thể bác bỏ, chống lại việc Bacon đánh giá thấp môn học ấy.

Toán học đã và đang là một công cụ khám phá. Vì từ lâu, khoa học đã vượt quá những giới hạn của sự quan sát trực tiếp của con người, cách riêng trong phạm vi nghiên cứu hạt nhân, khoa học không gian, vũ trụ học, cơ học lượng tử, và công nghệ cao cấp, v.v. Nếu không có toán học thì không thể nào đạt được những tiến bộ ấy.

Vẫn còn phải thẩm tra

Chương này cố gắng trình bày một số nan giải hàm chứa trong chính sự thành công của toán học, cách riêng trong nguồn gốc, bản tính và ứng dụng của thuyết tượng trưng toán học (mathemathical symbolism). Nếu ta có thể đạt được câu trả lời cho vấn nạn này, nó chắc chắn sẽ rọi nhiều ánh sáng lên bản tính tổng quát của thực tại, đặc biệt trong vấn đề nan giải về tính chủ quan hoặc tính khách quan của thực tính (the real).

Dù cuộc thẩm tra ấy đưa tới kết quả nào đi nữa, ít nhất cũng đã kiến lập được một điều. Rằng thiên nhiên là một hệ thống có trật tự, bằng không toán học không thể thao tác như một công cụ khám phá. Ðó là một kết luận quan trọng.

Không có thực thể tự túc (có tự tính) và độc lập; mọi vật đều tương liên nối kết và tương tác, nghĩa là cùng quan hệ tới các vật khác. Toán học làm cho nhà khoa học có khả năng khám phá rất nhiều tương quan có tính thiết yếu đối với tri thức của chúng ta về vạn vật, vượt quá bên kia tầm hiểu biết bằng quan sát.

Thiên nhiên có trật tự

Kết quả này của toán học bảo đảm rằng thiên nhiên là một hệ thống, một hệ thống có trật tự, và rằng phát xuất từ thực tế đó, vạn vật (things) hoặc vạn sự (events) đều có ý nghĩa.

Với sự bảo đảm rằng thiên nhiên là một hệ thống có trật tự, giờ đây chúng ta có thể hướng tới cuộc khảo sát chi tiết hơn một số nguyên lý về trật tự, được giả định là hiện hữu và thao tác trong tự nhiên.

Nguyễn Ước

Ngươi không là tạo sinh, mà là sự biểu hiện (Nhất Hạnh)

TƯ TƯỞNG

Lê Minh Văn: Về một NỀN DÂN CHỦ PHÁP TRỊ VIỆT NAM

		. PSN BỘ MỚI 2009 HỘP THƯ